高一數學第三冊：空間幾何公式表與證明表

來源：merge-compressed-hq.pdf，以教材頁碼標註。OCR 曾人工校正重要公式與定理名稱。

這份表不是逐題詳解，而是把教材中最常用的結論整理成考前可查的「公式表」和「證明表」。頁碼以原 PDF 頁碼為準。

讀法建議：先用公式表確認條件與變數，再用證明表找「要證平行、垂直、角度、距離、體積」時的套路。
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公式表

含定義性結論、面積體積公式、角與距離公式、平行垂直判定。

表中 S 多指底面積，c 指底面周長，h 指高，h' 或 l 指斜高/母線；遇到題目要先確認符號。
名稱 公式 / 結論 適用條件 頁碼 備註 / 易錯點
棱柱基本性質 側棱相等；側面為平行四邊形；直棱柱側面為矩形；正棱柱側面為全等矩形；平行於底面的截面與底面全等。 棱柱、直棱柱、正棱柱 3 「有一個側面是矩形」不一定能推出直棱柱；要看側棱是否垂直底面。
平行六面體對角線 四條空間對角線交於一點，且在此點互相平分。 平行六面體 4 證明常轉到一組平行四邊形的對角線互相平分。
長方體對角線 d² = a² + b² + c²；正方體 d = √3a。 長方體長、寬、高為 a,b,c；正方體棱長 a 4, 63 先在底面用一次畢氏，再與高組成直角三角形。
長方體對角線方向角 cos²α + cos²β + cos²γ = 1。 空間對角線與同一頂點三條互相垂直棱所成角分別為 α,β,γ 5 本質是三個方向分量平方和等於 1。
直棱柱側面積 S側 = ch。 底面周長 c，高 h 的直棱柱 5, 63 全面積要再加兩個底面積。
斜棱柱側面積 S側 = c直截面 · l。 直截面周長 c直截面，側棱長 l 5-6 不是用底面周長，而是垂直於側棱的直截面周長。
棱錐平行截面定理 平行於底面的截面與底面相似；S截 / S底 = h小² / h全²。 棱錐被平行於底面的平面所截 9, 63 長度比是一次方，面積比是平方。
正棱錐斜高關係 高、斜高、斜高在底面上的射影組成直角三角形；高、側棱、側棱在底面上的射影也組成直角三角形。 正棱錐 10 斜高不是側棱；斜高落在側面三角形的底邊中點。
正棱錐側面積 S側 = 1/2 · c · h'。 底面周長 c，斜高 h' 11, 63 全面積 = 側面積 + 底面積。
正棱台性質 側棱相等；側面為全等等腰梯形；兩底面與平行截面為相似正多邊形；中心連線、邊心距、斜高可組成直角梯形。 正棱錐被平行於底面的平面截得正棱台 13 判斷棱台時，上下底必須相似且側棱延長線交於一點。
棱台中截面面積 2√S中 = √S + √S'。 棱台上下底面積 S,S'，中截面平行兩底且位於高的中點 14, 63 不是 S中 = (S+S')/2。
正棱台側面積 S側 = 1/2(c+c')h'。 上下底周長 c,c'，斜高 h' 15, 63 令 c'=c 得正棱柱；令 c'=0 得正棱錐。
旋轉體截面性質 平行於底面的截面都是圓；軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形。 圓柱、圓錐、圓台 17 圓台可視為圓錐被平行於底面的平面截得。
圓柱側面積 S側 = cl = 2πrl；直圓柱中 l=h。 底面半徑 r，周長 c，母線 l 19, 64 側面展開圖是矩形。
圓錐側面積 S側 = 1/2cl = πrl。 底面半徑 r，母線 l 19, 64 側面展開圖是扇形，弧長等於底面周長。
圓台側面積 S側 = 1/2(c+c')l = π(r+r')l。 上下底半徑 r,r'，母線 l 19, 64 側面展開是扇環，可由兩扇形相減。
圓錐展開扇形圓心角 θ = 360°·r/l；弧度制 θ = 2πr/l。 圓錐底半徑 r，母線 l 19-22, 64 角度與弧度不要混用。
表面最短距離 把可展曲面或側面展開到平面，最短路徑化為平面內兩點間線段。 圓柱、圓錐、圓台、棱柱/棱錐側面上的爬行問題 23-25, 64 要選對展開圈數；繞一周、兩周會改變終點所在副本。
球截面半徑 r = √(R²-d²)。 球半徑 R，球心到截面距離 d，截面半徑 r 26, 64 球心到截面圓心連線垂直於截面。
球面兩點最短距離 球面上兩點間最短距離為經過兩點的大圓劣弧長。 球面路徑問題 27 不是空間直線距離，是沿球面走的弧長。
球面面積 S = 4πR²。 球半徑 R 29, 64 等於大圓面積的 4 倍；也等於外切圓柱側面積。
球冠面積 S球冠 = 2πRh。 球半徑 R，球冠高 h 30 球冠是曲面，不包括底面圓面積。
斜二測畫法 平行 x 軸長度不變；平行 y 軸畫成 45° 或 135° 方向且長度減半。 水平放置平面圖形的直觀圖 41 口訣：橫不變，縱減半。
直觀圖面積比 S直觀 : S原圖 = √2 : 4。 斜二測畫法 41 面積比不是長度比。
三視圖度量原則 長對正，高平齊，寬相等。 正視圖、側視圖、俯視圖互相對照 42-43 輪廓線畫實線，被遮蔽線畫虛線。
長方體 / 正方體體積 V = abc；正方體 V = a³。 長寬高 a,b,c；正方體棱長 a 46, 64 後續柱、錐、台、球都以此和祖暅原理為基礎。
祖暅原理 / Cavalieri 原理 兩立體夾在兩平行平面間；任意平行截面面積相等，則體積相等。 比較柱、錐、球等立體體積 46-47, 50, 56 需「所有高度」的截面面積都相等，不是只比某一截面。
柱體體積 V = Sh。 棱柱、圓柱；底面積 S，高 h 47, 64 圓柱為 V = πr²h。
錐體體積 V = 1/3 Sh。 棱錐、圓錐；底面積 S，高 h 50, 64 圓錐為 V = 1/3πr²h。
三條側棱互相垂直的三棱錐 V = abc / 6。 同一頂點三條側棱兩兩垂直，長為 a,b,c 52, 104 可補成長方體，三棱錐為長方體的六分之一。
台體體積 V = h(S + √SS' + S') / 3。 棱台或圓台，上下底面積 S',S，高 h 54, 64 不是平均底面積乘高。
圓台體積 V = 1/3πh(r² + rr' + r'²)。 上下底半徑 r,r'，高 h 54, 64 由台體公式代入 S=πr²。
球體積 V = 4/3πR³。 球半徑 R 56, 64 半球與「圓柱去倒圓錐」用祖暅原理比較。
球缺體積 V = 1/3πh²(3R-h)；亦可寫 V = 1/6πh(3r²+h²)。 球半徑 R，球缺高 h；底面半徑 r 58 第二式用 r² = 2Rh - h² 轉換。
正四面體內外接球 內切球半徑 r = √6a/12；外接球半徑 R = √6a/4。 正四面體棱長 a 64 外接半徑是內切半徑的 3 倍。
球內接正方體 球直徑 2R = √3a。 正方體棱長 a，所有頂點在球面上 64 正方體體對角線等於球直徑。
平面三公理 兩點定線在面內；兩平面有公共點則交於一直線；不共線三點決定唯一平面。 平面基本性質 70, 98 「不共線」是第三公理必要條件。
確定平面的推論 一直線與線外一點、兩相交直線、兩平行直線，各決定唯一平面。 證明共面、找輔助平面 70, 98 異面直線不能確定平面。
空間兩直線位置 相交、平行、異面；異面直線既不平行也不相交，且不同在任何一個平面內。 空間直線分類 72-73, 99 「分別在兩平面內」不一定異面。
空間平行公理與等角定理 平行於同一直線的兩直線互相平行；兩角兩邊分別平行，方向相同則相等，方向相反則互補。 證線線平行、求異面直線角 74, 99 求異面角常先平移其中一條線。
異面直線角與距離 異面角取平移後相交線所成銳角或直角；距離為公垂線段長。 兩條異面直線 76 角的範圍通常取 0° < θ ≤ 90°。
異面直線距離計算模型 EF² = d² + m² + n² ± 2mn cosθ。 兩異面直線公垂線段長 d，兩線方向角 θ，沿兩線取長 m,n 76 正負號由兩方向取向決定，做題時通常回到三角形/向量判斷。
直線與平面平行 判定：面外線平行於面內一線，則線面平行。性質：線面平行，過該線的平面與原平面相交，則該線平行交線。 證線面平行或由線面平行證線線平行 78 判定時必須說明直線不在平面內。
直線與平面垂直 判定：一線垂直平面內兩條相交直線，則垂直該平面。性質：垂直於同一平面的兩直線平行。 證線面垂直、線線垂直、線線平行 82-83 垂直「無數條線」不夠，需保證有兩條相交直線或任意直線。
點到平面 / 線面距離 點到平面距離為垂線段長；線面平行時，線上任一點到平面的距離相等，該長度為線面距離。 點面距離、線面距離 82, 84 線面相交或線在面內時通常不稱正距離。
射影長定理 同一點向平面引斜線段：射影相等則斜線段相等；射影較長則斜線段較長；垂線段最短。 點、斜線、斜線段在平面內的射影 87 不能直接比較不同垂足、不同點的斜線段。
直線和平面所成角 斜交時為直線與其在平面內射影所成銳角；垂直為 90°；平行或在面內為 0°。 求線面角 87 線面角是該斜線與平面內過斜足各直線所成角中的最小角。
三垂線定理及逆定理 平面內一直線垂直斜線在該平面內的射影，則垂直斜線；反之，平面內一直線垂直斜線，則垂直其射影。 斜線、射影、平面內直線 88 先找垂線段與斜足，確定哪條是射影。
兩平面平行判定與性質 判定：一平面內兩相交線都平行另一平面，則兩平面平行；垂直於同一直線的兩平面平行；平行於同一平面的兩平面平行。性質：兩平行平面被第三平面所截，交線平行。 證面面平行、線線平行 92 判定一要「兩條相交直線」，只有一條線不夠。
二面角與平面角 在二面角棱上一點，於兩面內分別作垂直於棱的射線，兩射線所成角即二面角平面角。 面面角、二面角度量 94 平面角必須兩邊都垂直於二面角的棱。
兩平面垂直判定與性質 判定：一平面經過另一平面的一條垂線，則兩平面垂直。性質：兩面垂直時，一面內垂直於交線的直線垂直另一平面。 證面面垂直、由面面垂直推出線面垂直 96 性質定理中那條線必須在其中一個平面內，且垂直交線。

證明表

把教材例題和定理證明抽成可重用的證明骨架。

命題 / 目標 證明關鍵步驟 頁碼 用途 / 陷阱
平行六面體對角線互相平分 選取含兩條對角線的對角面；證明該截面為平行四邊形；用平行四邊形對角線互相平分得交點；再換另一對對角線同理。 4 空間問題降到平面截面；要說明所取四點共面。
長方體對角線公式 先在底面求底面對角線平方 a²+b²；再與高 c 形成直角三角形，得 d²=a²+b²+c²。 4 所有外接球、空間距離題常先找長方體體對角線。
直棱柱側面積 沿一條側棱剪開側面；側面展成矩形；矩形一邊是底面周長 c，另一邊是高 h。 5 只對直棱柱直接用底面周長；斜棱柱改用直截面。
棱錐平行截面定理 平行截面與各側棱相交；利用平行線分線段成比例，得到截面各邊與底面對應邊成同一比例；因此相似，面積比為相似比平方。 9 題中出現「平行於底面截」時先找相似比。
正棱錐側面積 把側面展開為若干全等等腰三角形；每個三角形面積為 1/2·邊長·斜高；加總底面各邊得到 1/2ch'。 11 斜高是側面三角形的高，不能拿錐高代入。
棱台中截面公式 把棱台補成原棱錐；截面與上下底相似；對應邊長按高度線性變化，中截面邊長為上下對應邊長平均；面積開根號後與邊長成比例，得 2√S中=√S+√S'。 14 面積本身不線性，開根號才線性。
正棱台側面積 側面展開為若干全等等腰梯形；每個梯形高為斜高；加總上下底邊長，得到 1/2(c+c')h'。 15 可用來統一正棱柱與正棱錐側面積。
圓柱、圓錐、圓台側面積 沿母線剪開；圓柱為矩形、圓錐為扇形、圓台為扇環；用展開圖弧長等於底面周長求面積。 19 展開圖半徑是母線，不是底面半徑。
表面爬行最短距離 沿合適母線/側棱展開；把起點、終點放到同一展開平面；若繞多周，取終點的相應副本；用平面直線段最短。 23-25 圓錐題要先算展開扇形角；棱錐題要展開足夠多個側面。
球面積公式 把半球面用許多平行截面分成近似圓台/圓錐側面；利用內接圓台側面積引理 2πph；令分割無限細，得到半球面積 2πR²，整球為 4πR²。 28-29 球面不能展開成平面，不能用展開圖法。
球冠面積公式 仿球面面積分割法，只取高度為 h 的球面部分；圓台側面積極限加總為 2πRh。 30 球冠底面是圓周，不把底面圓面積算入球冠面積。
斜二測作直觀圖 在原圖取直角坐標；畫斜坐標軸使夾角 45° 或 135°；平行 x 軸保長，平行 y 軸減半；連接對應點並擦輔助線。 41 斜方向線段通常不能直接保長，要由坐標方向構造。
由三視圖還原幾何體 用正視圖定長高，側視圖定寬高，俯視圖定長寬；再由虛實線判斷遮蔽邊和凹凸。 42-43 只看單一視圖通常不唯一。
柱體體積公式 把任意柱體與同底面積、同高的長方體夾在兩平行平面間；任意平行截面面積都等於 S；用祖暅原理得體積相等。 47 柱體平行截面要與底面全等。
等底等高錐體體積相等 將兩錐體底面放同一平面，頂點在同一平行平面；任意平行截面與底面相似，且面積比例只由截面到頂點高度決定；因此同高截面面積相等，用祖暅原理。 50 這是把三棱錐公式推廣到任意棱錐/圓錐的橋樑。
三棱錐體積公式 把三棱錐補成三棱柱；將三棱柱分成三個等底等高三棱錐；三者體積相等，所以每個為柱體體積的三分之一。 50 分割後要逐一說明等底等高，不能只靠圖形直覺。
任意錐體體積公式 先證三棱錐 V=1/3Sh；任意錐體與某三棱錐等底面積等高，由等底等高錐體體積相等推出同公式。 50 圓錐只需代入 S=πr²。
台體體積公式 把台體補成大錐，台體 = 大錐 - 小錐；上下底相似，面積平方根與相似比成正比；用高度比例消去大、小錐高度，整理得 h(S+√SS'+S')/3。 54 核心是「面積開根號才和長度同次」。
球體積公式 取半球與「同半徑同高圓柱挖去倒圓錐」比較；距底面 x 的截面，半球圓面積為 π(R²-x²)，圓柱去圓錐環面積也為 πR²-πx²；由祖暅原理得半球體積，倍之得整球。 56 比較的是半球；最後要乘 2。
球缺體積公式 把球缺與某圓柱減圓台比較；逐層平行截面面積相等；用祖暅原理並代入台體公式整理成 1/3πh²(3R-h)。 58 題目給底面半徑時先用 r²=2Rh-h²。
外接球半徑模型 找球心投影位置；把球心到截面中心距離、截面外接圓半徑、球半徑放進直角三角形；用 R²=d²+r²。 57, 60-64 正方體/長方體外接球直接用體對角線，圓柱內接球要用軸截面。
證直線在平面內 找出該直線上兩個不同點都在平面內；由公理 1 推整條直線在平面內。 70, 98 只證一點在平面內不夠。
證三點共線於兩平面交線 證三點同時屬於兩個不同平面；由兩平面交線唯一，所有公共點都在交線上。 70-71 常用於截面題、交點共線題。
證多點或多線共面 找不共線三點，或找一直線加線外一點，或找兩相交/兩平行直線；由公理 3 與推論確定唯一平面，再證其他點/線也在其中。 70-71, 98 若三點共線，不能唯一確定平面。
證兩直線異面 可用定義或反證法：假設兩線共面，結合已知平面與交點推出某平面內不該有的點/線，矛盾；或用「平面外一點與面內一點連線」定理。 72-73 不能只說兩線不相交，還要排除平行共面的可能。
證空間線線平行 優先找共同平行的媒介線；或在三角形/梯形截面中用中位線；或由兩平行平面被第三平面所截的交線平行。 74-75, 92 要確定線的所在平面與截面，不要只看立體圖像。
求異面直線所成角 經過空間一點平移兩條異面直線為相交直線；求相交線形成的銳角或直角；若在正方體/棱柱中，常取平行棱或面對角線作替代。 76, 100-102 答案取銳角或直角，鈍角要轉為補角。
證線面平行 在目標平面內找一條線與已知線平行；同時說明已知線不在該平面內；用線面平行判定定理。 78-81 若已知線在平面內，不能說線面平行。
由線面平行證線線平行 過該直線作一個輔助平面，使它與已知平面相交；由線面平行性質推出該直線平行交線。 78-81 關鍵是構造「經過該直線的平面」。
證線面垂直 在目標平面內找兩條相交直線；證目標直線分別垂直這兩條線；用線面垂直判定定理。 82-86 兩條線必須都在該平面內且相交。
由線面垂直證線線垂直 先證一條線垂直某平面；再指出另一條線在該平面內；由線面垂直定義推出線線垂直。 82-86 常比直接證兩線垂直更乾淨。
平行線傳遞線面垂直 若 a // b 且 a ⟂ α，則對平面內任一直線，a 垂直它，平行線保持角度，故 b 也垂直平面內任一直線。 83 常用於正方體或棱柱中由一條垂線推出平行垂線。
線面平行時距離相等 取線上兩點分別向平面作垂線；由線面平行與垂線平行性質構造矩形/平行線段，證兩垂線段相等。 84 距離是垂線段長，不是任意斜線段。
用三垂線定理證垂直 找斜線、斜線在平面內的射影、平面內目標直線；若平面內直線垂直射影，即可推出垂直斜線；逆定理反向使用。 88-91 常見於證 AE ⟂ PB、點到邊距離、線面角問題。
求直線與平面所成角 從直線上一點向平面作垂線；連接垂足與斜足得到射影；在斜線、垂線段、射影構成的直角三角形中求角。 87-91, 103-105 線面角是直線與射影的角，不是和任意平面內直線的角。
證面面平行 在一個平面內找兩條相交直線；分別證它們平行另一平面；用面面平行判定定理。或證兩平面都垂直於同一直線。 92-93 兩條線必須相交；兩條平行線不夠用這個判定。
由面面平行證交線平行 讓兩平行平面同時被第三個平面截；兩條交線都在第三平面內且無公共點，因此平行。 92 常用於截面題，先確認第三平面確實與兩平面都相交。
求二面角 先找二面角的棱；在棱上一點分別在兩個面內作垂直於棱的射線；這兩射線形成的角就是二面角平面角；再用三角形計算。 94-95 不要直接拿兩平面中任意兩線的夾角當二面角。
證面面垂直 證一個平面內存在一條直線垂直另一個平面；由「一平面經過另一平面的一條垂線」推出兩平面垂直。 96-97 線必須在其中一個平面內，且垂直另一平面。
由面面垂直證線面垂直 若兩面垂直，取其中一面內垂直交線的直線；由面面垂直性質推出此線垂直另一平面。 96-97 必須明確指出交線，且直線垂直交線。
求點到平面距離 方法一：直接作垂線並用直角三角形求長；方法二：用同一三棱錐換底面，令 V = 1/3S·d 解距離。 82-91, 103-104 當垂足難找時，體積法通常更穩。

解題套路

把常見題型壓成可操作的步驟。

證平行

  • 線線平行：找共同平行媒介、三角形中位線、平行平面交線。
  • 線面平行：在面內找一條線與面外線平行。
  • 面面平行：在一面內找兩條相交線分別平行另一面。

證垂直

  • 線面垂直：證該線垂直面內兩條相交線。
  • 線線垂直：先證一條線垂直某平面，再證另一線在此平面內。
  • 面面垂直：證一面含有另一面的垂線。

求角

  • 異面角：平移成相交線，取銳角或直角。
  • 線面角：找斜線在平面內的射影。
  • 二面角：在棱上作兩條垂棱射線，形成平面角。

求距離

  • 點面距離：作垂線或用三棱錐體積換底。
  • 線面距離：線面平行時取線上一點到面的距離。
  • 異面距離：找公垂線，或構造垂直平面/輔助平面。

算體積

  • 柱：Sh；錐：1/3Sh；台：h(S+√SS'+S')/3。
  • 球/球缺：先確定半徑、高、截面半徑。
  • 不規則組合體：切割、補形、相減。

找球心

  • 長方體/正方體：中心為球心，體對角線為直徑。
  • 棱錐：球心投影常在底面外心或對稱中心。
  • 截面球題：用 R² = d² + r²。

符號與提醒

整理時保留教材常用語，並校正 OCR 容易混淆的地方。

常用符號

∈ 在...上/內⊂ 直線在平面內// 平行⊥ 垂直∩ 相交

若瀏覽器字型不支援數學符號，可改用手寫符號理解。

OCR 校正

原 PDF 是掃描教材，OCR 會把「棱」誤成「楼」、把 π 誤成「元/工」。本表已按教材上下文校正主要公式。

使用範圍

這份表涵蓋第 1-105 頁空間幾何體、投影與直觀圖、體積、空間線面關係。練習題中的特殊技巧只收錄可重用套路。